向量运算与应用

Arzie100 · 发表于 2022-5-27 14:48

什么是向量

向量指具有大小和方向的量，一般记做： a ，  ，  ，同时也可以用数对的形式表示，例如：(x, y) ，(7,8,9)
向量的矩阵表示：
$\vec{a} = \begin{bmatrix} x \\y\end{bmatrix}$
$\vec{a}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$
向量的大小，也就是向量的长度（一般称作为模），向量a的模记为： $\left | \vec{a} \right |$ ，若 $\vec{a} = \left ( x,y,z \right )$ ，则 $\left | \vec{a} \right | = \sqrt{x^2 + y^2+ z^2}$
单位向量：即模为1的向量，可以记作。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a}|}$   。
零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的
相反向量：长度相等方向相反的向量，  的相反向量为 $-\vec{a}$
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 $\vec{a} // \vec{b}$
向量运算

设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ ， $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$
加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则， $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$

可以将其想象成一个长方形求对角线。
运算过程：

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$
$\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \\z_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \\z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} + x_{2}\\ y_{1} + y_{2} \\z_1+z_2\end{bmatrix}$
一些运算律：

$\vec{a} + 0 = 0 + \vec{a} = \vec{a}$
交换律： $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
p data-pid="6PQXNsG7">结合律： $\left ( \vec{a} + \vec{b} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left ( \vec{b} + \vec{c} \right)$ </p>减法

$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$ ，如图

运算过程：

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$
$\vec{a} - \vec{b} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \\z_1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} - x_{2}\\ y_{1} - y_{2} \\z_1-z_2\end{bmatrix}$
一些运算律：

$\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$
实数和向量的积

设有实数 k，和向量  的乘积还是一个向量，记做 $k\vec{a}$ ，且 $| k \vec{a} | = | k| * | \vec{a} |$ ，如果 $k\vec{a}=0$ ，则 k = 0 或 $\vec{a}=0$
其几何意义为：向量的有向线段的伸长或者压缩。
一些运算律：
结合律： $( k\vec{a} )\cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b} ) = \vec{a} \cdot ( k\vec{b} )$
分配律： $( j+ k) \vec{a} = j\vec{a} + k\vec{a}$

$k( \vec{a} + \vec{b} ) =k\vec{a} +k\vec{b}$
向量的点乘（点积，内积，数量积）（Dot Product）

两个向量的数量积（点积，内积，点乘）是一个数量，没有方向，记作 $\vec{a}\cdot \vec{b}$
代数定义： $\vec{a}\cdot \vec{b} = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_1z_2$
几何定义：我们将  和  的夹角记作  ，且
若  ，  不共线，则
若  ，  共线，则 $\vec{a}\cdot \vec{b} = \pm \left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |$ ，因为此时 $\theta=0$ 则 $\cos\theta=1$ ，若两个向量方向相反，则认为 $\theta=\pi$ 则 $\cos\theta=-1$ 。
一些运算律：
交换律： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
结合律： $( k\vec{a} )\cdot \vec{b} = k( \vec{a}\cdot \vec{b} )$
分配率： $( \vec{a} + \vec{b} )\cdot \vec{c} =\vec{a}\cdot \vec{c} + \vec{b}\cdot \vec{c}$
一些性质：

$\vec{a}\cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^{2}$
若两个向量互相垂直，则 $\cos\theta=0$   因此 $\vec{a}\perp \vec{b} \leftrightharpoons \vec{a}\cdot \vec{b} = 0$
点乘的实际使用场景

1.计算两个向量的夹角，通过点乘我们可以得到：

$cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}*\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
若  和  为单位向量，即模为1，那么上面的式子分母即为1，得

$cos\theta = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

2.可以用来求一个向量在另一个向量上的投影，例如图中  在  上的投影，我们记作

因为  是在  上的投影，因此的方向和  相同。因此 $\vec{b} _{\perp } = k \hat{a}$ ，k为一个常量，为  的单位向量。

的值我们很好求得： $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
接下来要看看 k 值的含义，因为  和  方向相同，因此  不仅是  的单位向量，同时也是  的单位向量，因此 k 即为  的模，即 $k=|\vec{b} _{\perp }|$
然后由于  的结尾与  的结尾的连线，垂直于  （如图，也是投影的性质），因此通过三角函数，我们可以得知 $|\vec{b} _{\perp }|=|\vec{b} |*\cos\theta$

$|\vec{b}|$ 的值很好求得， $\cos\theta$ 我们可以通过点乘得到，因此即可求得k的值，然后求得
如图，通过向量的减法，我们可以得到 $\vec{b}-\vec{b} _{\perp }$ ，这样就把  分解成了两个互相垂直的向量。
若我们要把向量 (x, y, z) 投影到x，y，z的某个平面上，只需要把垂直于该平面的那个轴对应的值设置为0即可，例如：投影到xy平面，即为 (x, y, 0) ，投影到yz平面上，即为 (0, y, z)。若投影到某个轴上，则只保留该轴的值即可，例如：投影到x轴上，即为 (x, 0, 0)，投影到y轴上，即为 (0, y, 0)。

3.判断一个向量的朝向是否和另个向量相似，即两个向量的方向性，如图

图中我们可以认为，和  一样，同时朝向前方，而 $\vec{c}$ 朝向的是  的后方。我们可以通过点积的值来判断， > 0 则为同方向（0 <= 夹角 < 90）， < 0 则为反方向（90 < 夹角 <= 180）, = 0 即为垂直（夹角 = 90）。
因为，若两个都是非零向量，则 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |> 0$ ，通过三角函数可知：当 $0 \leqslant \theta < \frac{\pi}{2}$ ， $cos\theta > 0$ ，因此点积的值 > 0，当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ， $cos\theta = 0$ ，因此点积的值 = 0，当 $\frac{\pi}{2} <\theta \leqslant \pi$ ， $\cos\theta<0$ ，因此点积的值 < 0。

4.两个向量是否接近，夹角越小，即两个向量越接近。通过上面3提到的，我们只能通过点积的值来判断夹角是钝角还是锐角还是直角，那么如何只通过点积的值来判断夹角大小呢？那就是我们把两个向量的单位向量进行点积。这样就会使 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 1$ ，因此 $\hat{a}\cdot \hat{b} = cos\theta$ ，那么当值为 1 时，代表两向量方向正好相同，当值越来越小时，代表两个向量离得越来越远，当值为 -1 时，代表两向量方向正好相反。因此两个向量的单位向量的点积越接近1，两个向量越接近。
这个性质可以应用在高光的显示上，当人眼看向目标的向量和光折射的向量，它们越接近则高光效果越明显。
向量的叉乘（叉积，向量积，外积）(Cross Product)

两个向量的向量积（叉积，叉乘，外积）是一个向量，记作  （或者 $\vec{a} \wedge \vec{b}$ ）
我们将  和  的夹角记作  ，且，那么叉乘得到的向量的模长为：

$| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |\cdot sin\theta$
方向：与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手螺旋定则（四指方向代表旋转的方向，右手四指从  转向  时，大拇指的方向即向量积的方向）

用矩阵表示：
$\vec{a}\times \vec{b} = \begin{bmatrix} 0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a \\ -y_a & x_a&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_b\\ y_b \\ z_b \end{bmatrix}= \left ( y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b} ,z_{a}x_{b}-x_{a}z_{b} ,x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b} \right )$
若为二维向量，即z的值为0，因此 $\vec{a}\times \vec{b} =(0,0, x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b})$ ，又因为二维没有z轴，所以常写作 $\vec{a}\times \vec{b} = x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}$ ，该常量其实就是 $|\vec{a}\times \vec{b} |$ 。
一些运算律：

$\vec{a}\times \vec{b} = -\vec{b}\times \vec{a}$

$( k\vec{a} )\times \vec{b} = k( \vec{a}\times \vec{b} )$

$( \vec{a} + \vec{b} )\times \vec{c} =\vec{a}\times \vec{c} + \vec{b}\times \vec{c}$
一些性质：

$\vec{a}\times \vec{a} = \vec{0}$ （因为 sin0 = 0）
若两个向量互相平行，则 $\vec{a}// \vec{b} \leftrightharpoons \vec{a}\times \vec{b} = \vec{0}$

$| \vec{a} \times \vec{b} |$ 的值是以  和  为边的平行四边形的面积，同样的以  和  为边的三角形的面积自然就是 $\frac{| \vec{a} \times \vec{b} |}{2}$ （至于为什么，下面第四点解释）
叉乘实际使用场景

1.建立三维坐标中的坐标系，例如给定一个x轴和y轴，我们可以通过x轴叉积y轴来获得z轴

$\vec{y}\times \vec{x} = -\vec{z}$
$\vec{y}\times \vec{z} = \vec{x}$
$\vec{z}\times \vec{y} = -\vec{x}$
$\vec{z}\times \vec{x} = \vec{y}$
$\vec{x}\times \vec{z} = -\vec{y}$

注：若三维坐标系的那么该坐标系即为右手坐标系。

2.判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。例如我们给定两个向量   $\vec{a}= (2, 3, 0)$ ， $\vec{b}= (3, 1, 0)$ ，我们想知道  在  的左侧还是右侧，该如何判定？
根据  和  的值，我们可以看出它俩都在 xy 平面上，根据叉积的性质我们可以知道  得到的向量一定垂直于 xy 平面（和z轴平行或重叠），然后根据右手螺旋法则，若  的向量的z的值 > 0 ，那么即表示  在  的右侧，若z的值 < 0 ，那么即表示  在  的左侧。
上面的例子我们是从z轴的正方向看向负方向，但是若从负方向看向正方向，那么原本在左边就会变成在右边，因此左右关系和我们的观察方向有关。
因此若我们从z轴正方向看向负方向，若两个向量组成的平面没有平行于xy平面，我们可以先将其投影到xy平面上，然后再计算左右。

3.判断点是否在三角形内部。

其实本质上还是2中的思路，例如上图，我们可以利用 $\vec{AP} \times \vec{AB}$ ， $\vec{BP} \times \vec{BC}$ ， $\vec{CP} \times \vec{CA}$ 来判断P点是否在  ，  ， $\vec{CA}$ 的左侧，若成立，则P点在三角形ABC的内部。
同理可以应用到四边形等多边形中，但是必须夹角小于180度（如下图，ABC>180，因此P点即使在内部，但是却在  的右侧，的左侧）。

这点是三角形光栅化的基础，要判断三角形覆盖了哪些像素，那就需要知道这些像素是否在三角形内部，好给这个像素进行着色。

4.求三角形面积
如下图三角形，CD长度为 h，AC长度为 b，AB长度为 c，AC和AB的夹角为 α 。

我们知道其面积为： $S=\frac{ch}{2}$
因为 $h=b*\sin \alpha$
因此 $S=\frac{cb\sin\alpha}{2}$
而 $cb\sin\alpha$ 正是我们向量AC和向量AB叉乘结果的模 $|\vec{AC} \times \vec{AB}|$
因此 $S = \frac{|\vec{AC} \times \vec{AB}|}{2}$

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